📝 题目
例 3 判别下列广义积分的收敛性:
(1) $\displaystyle{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\ln \left( {1 + x}\right) }{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x$ ; (2) $\displaystyle{\int }_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{\ln x}{\sqrt{x}{\left( 1 - x\right) }^{2}}\mathrm{\;d}x$ .
💡 答案与解析
解 (1) 此广义积分有瑕点 $x = 0$ 与 $\displaystyle{x = + \infty}$ .
当 $\displaystyle{x \rightarrow + \infty}$ 时,因为对 $\forall \varepsilon > 0$ ,有 $\ln \left( {1 + x}\right) = O\left( {x}^{\varepsilon }\right)$ ,所以当 $p > 1$ 时,取 $0 < \varepsilon < p - 1$ ( $p$ 是固定的),则有
$$ \frac{\ln \left( {1 + x}\right) }{{x}^{p}} = O\left( \frac{1}{{x}^{p - \varepsilon }}\right) \;\left( {x \rightarrow + \infty }\right) , $$
由于此处 $p - \varepsilon > 1$ ,故 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\ln \left( {1 + x}\right) }{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x$ 收敛.
当 $x \rightarrow 0 + 0$ 时,因为 $\frac{\ln \left( {1 + x}\right) }{{x}^{p}} \sim \frac{1}{{x}^{p - 1}}$ ,所以当 $p - 1 < 1$ 时,即当 $p < 2$ 时, $\displaystyle{\int }_{0}^{1}\frac{\ln \left( {1 + x}\right) }{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x$ 收敛.
以上两方面结合起来,当 $1 < p < 2$ 时,则原广义积分收敛.
(2)此广义积分有瑕点 $x = 0$ 与 $x = 1$ .
当 $x \rightarrow 0 + 0$ 时,因为对 $\forall \varepsilon > 0$ ,有 $\ln x = O\left( \frac{1}{{x}^{\varepsilon }}\right)$ ,所以只要取 $0 <$ $\varepsilon < \frac{1}{2}$ ,则有
$$ \frac{\ln x}{\sqrt{x}{\left( 1 - x\right) }^{2}} = O\left( \frac{1}{{x}^{\frac{1}{2} + \varepsilon }}\right) \;\left( {x \rightarrow 0 + 0}\right) , $$
由于此处 $0 < \frac{1}{2} + \varepsilon < 1$ ,故 $\displaystyle{\int }_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{\ln x}{\sqrt{x}{\left( 1 - x\right) }^{2}}\mathrm{\;d}x$ 收敛.
当 $x \rightarrow 1 - 0$ 时,因为 $\frac{\ln x}{\sqrt{x}{\left( 1 - x\right) }^{2}} \sim \frac{1 - x}{{\left( 1 - x\right) }^{2}} = - \frac{1}{1 - x}$ ,所以 $\displaystyle{\int }_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{\ln x}{\sqrt{x}{\left( 1 - x\right) }^{2}}\mathrm{\;d}x$ 发散.
以上两方面结合起来, 则原广义积分发散.