📝 题目
例 4 讨论如下广义积分的收敛性:
$$ {\int }_{0}^{+\infty }\left\lbrack {\ln \left( {1 + \frac{1}{x}}\right) - \frac{1}{1 + x}}\right\rbrack \mathrm{d}x. $$
💡 答案与解析
解法 1 此广义积分有瑕点 $x = 0$ 与 $\displaystyle{x = + \infty}$ . 当 $\displaystyle{x \rightarrow + \infty}$ 时,因为
$$ 0 \leq \ln \left( {1 + \frac{1}{x}}\right) - \frac{1}{1 + x} $$
$$ \leq \frac{1}{x} - \frac{1}{1 + x} = \frac{1}{x\left( {1 + x}\right) }\;\left( {\forall x > 0}\right) , $$
所以由 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{1}{x\left( {1 + x}\right) }\mathrm{d}x$ 的收敛性推出 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\left\lbrack {\ln \left( {1 + \frac{1}{x}}\right) - \frac{1}{1 + x}}\right\rbrack \mathrm{d}x$ 收敛. 解法 2 用泰勒展开式. 因为当 $\displaystyle{x \rightarrow + \infty}$ 时, $\frac{1}{x} \rightarrow 0$ ,所以
$$ \ln \left( {1 + \frac{1}{x}}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2{x}^{2}} + o\left( \frac{1}{{x}^{2}}\right) \;\left( {x \rightarrow + \infty }\right) , $$
$$ \frac{1}{1 + x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{1}{x}\left\lbrack {1 - \frac{1}{x} + o\left( \frac{1}{x}\right) }\right\rbrack \;\left( {x \rightarrow \infty }\right) . $$
以上两式相减得
$$ \ln \left( {1 + \frac{1}{x}}\right) - \frac{1}{1 + x} = \frac{1}{2{x}^{2}} + o\left( \frac{1}{{x}^{2}}\right) \sim \frac{1}{2{x}^{2}}\;\left( {x \rightarrow + \infty }\right) . $$
从而 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\left\lbrack {\ln \left( {1 + \frac{1}{x}}\right) - \frac{1}{1 + x}}\right\rbrack \mathrm{d}x$ 收敛.
当 $x \rightarrow 0$ 时,令 $x = \frac{1}{t}$ ,有
$$ {\int }_{0}^{1}\ln \left( {1 + \frac{1}{x}}\right) \mathrm{d}x\overset{x = \frac{1}{t}}{ = }{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\ln \left( {1 + t}\right) }{{t}^{2}}\mathrm{\;d}t. $$
由