📝 题目
解 改写
$$ {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {x}^{2}}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x = \frac{x - \sqrt{t}}{t}{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin t}{2{t}^{\frac{p + 1}{2}}}\mathrm{\;d}t. \tag{5.1} $$
当 $t \rightarrow 0 + 0$ 时,因为 $\frac{\sin t}{{t}^{\frac{b + 1}{2}}} = \frac{\sin t}{t} \cdot \frac{1}{{t}^{\frac{b - 1}{2}}} \sim \frac{1}{{t}^{\frac{b - 1}{2}}}\left( {t \rightarrow 0 + 0}\right)$ ,所以当 $\frac{p - 1}{2} < 1$ 时,即当 $p < 3$ 时,积分 $\displaystyle{\int }_{0}^{1}\frac{\sin t}{2{t}^{\frac{p + 1}{2}}}\mathrm{\;d}t}$ 收敛,由于被积函数是正值, 此收敛也是绝对收敛.
当 $\displaystyle{t \rightarrow + \infty}$ 时,因为 $\displaystyle{\left| {{\int }_{1}^{A}\sin t\mathrm{\;d}t}\right| \leq 2}$ ,又当 $\frac{p + 1}{2} < 0$ 时,即当 $p > - 1$ 时, $\frac{1}{{t}^{\frac{p + 1}{2}}} \searrow 0$ ,所以由狄利克雷判别法知积分 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\sin t}{2{t}^{\frac{p + 1}{2}}}\mathrm{\;d}t}$ 收敛. 当 $\frac{p + 1}{2} > 1$ 时,即当 $p > 1$ 时,积分 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\sin t}{2{t}^{\frac{p + 1}{2}}}\mathrm{\;d}t}$ 绝对收敛; 当 $0 < \frac{p + 1}{2} \leq 1$ 时,即当 $- 1 < p \leq 1$ 时, $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\sin t}{2{t}^{\frac{p + 1}{2}}}\mathrm{\;d}t}$ 条件收敛.
综合以上结果, 并由 (5.1) 式得
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{ll} \text{ 当 } - 1 < p \leq 1\text{ 时, } & {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {x}^{2}}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x\text{ 条件收敛; } \\ \text{ 当 }1 < p < 3\text{ 时, } & {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {x}^{2}}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x\text{ 绝对收敛. } \end{array}\right.}$
💡 答案与解析
解 改写
$$ {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {x}^{2}}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x = \frac{x - \sqrt{t}}{t}{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin t}{2{t}^{\frac{p + 1}{2}}}\mathrm{\;d}t. \tag{5.1} $$
当 $t \rightarrow 0 + 0$ 时,因为 $\frac{\sin t}{{t}^{\frac{b + 1}{2}}} = \frac{\sin t}{t} \cdot \frac{1}{{t}^{\frac{b - 1}{2}}} \sim \frac{1}{{t}^{\frac{b - 1}{2}}}\left( {t \rightarrow 0 + 0}\right)$ ,所以当 $\frac{p - 1}{2} < 1$ 时,即当 $p < 3$ 时,积分 $\displaystyle{\int }_{0}^{1}\frac{\sin t}{2{t}^{\frac{p + 1}{2}}}\mathrm{\;d}t}$ 收敛,由于被积函数是正值, 此收敛也是绝对收敛.
当 $\displaystyle{t \rightarrow + \infty}$ 时,因为 $\displaystyle{\left| {{\int }_{1}^{A}\sin t\mathrm{\;d}t}\right| \leq 2}$ ,又当 $\frac{p + 1}{2} < 0$ 时,即当 $p > - 1$ 时, $\frac{1}{{t}^{\frac{p + 1}{2}}} \searrow 0$ ,所以由狄利克雷判别法知积分 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\sin t}{2{t}^{\frac{p + 1}{2}}}\mathrm{\;d}t}$ 收敛. 当 $\frac{p + 1}{2} > 1$ 时,即当 $p > 1$ 时,积分 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\sin t}{2{t}^{\frac{p + 1}{2}}}\mathrm{\;d}t}$ 绝对收敛; 当 $0 < \frac{p + 1}{2} \leq 1$ 时,即当 $- 1 < p \leq 1$ 时, $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\sin t}{2{t}^{\frac{p + 1}{2}}}\mathrm{\;d}t}$ 条件收敛.
综合以上结果, 并由 (5.1) 式得
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{ll} \text{ 当 } - 1 < p \leq 1\text{ 时, } & {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {x}^{2}}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x\text{ 条件收敛; } \\ \text{ 当 }1 < p < 3\text{ 时, } & {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {x}^{2}}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x\text{ 绝对收敛. } \end{array}\right.}$