📝 题目
例 1 设 ${f}_{n}\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上一致收敛于 $f\left( x\right)$ ,求证: $\left| {{f}_{n}\left( x\right) }\right|$ 也在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上一致收敛.
💡 答案与解析
证 $\forall \varepsilon > 0$ ,由 ${f}_{n}\left( x\right) \xrightarrow[\text{ 一致 }]{\left\lbrack a,b\right\rbrack }f\left( x\right) ,\exists N\left( \varepsilon \right)$ ,当 $n > N,\forall x \in$ $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,有
$$ \left| {{f}_{n}\left( x\right) - f\left( x\right) }\right| < \varepsilon \Rightarrow \left| \right| {f}_{n}\left( x\right) \left| -\right| f\left( x\right) \left| \right| < \varepsilon , $$
即 $\left| {{f}_{n}\left( x\right) }\right|$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上一致收敛于 $\left| {f\left( x\right) }\right|$ .