📝 题目
例 2 讨论下列序列在(0,1)区间上的一致收敛性:
(1) ${f}_{n}\left( x\right) = \frac{n + {x}^{2}}{nx}$ ; (2) ${f}_{n}\left( x\right) = \frac{1}{1 + {nx}}$ .
💡 答案与解析
解 (1) 因为 $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{n + {x}^{2}}{nx} = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1 + \frac{{x}^{2}}{n}}{x} = \frac{1}{x}\left( {0 < x < 1}\right)$ ,所以
$$ {E}_{n} = \mathop{\sup }\limits_{{0 < x < 1}}\left| {\frac{n + {x}^{2}}{nx} - \frac{1}{x}}\right| = \mathop{\sup }\limits_{{0 < x < 1}}\left| \frac{x}{n}\right| \leq \frac{1}{n} $$
$$ \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{E}_{n} = 0\text{ . } $$
由 $M$ 判别法知 ${f}_{n}\left( x\right) = \frac{n + {x}^{2}}{nx}$ 在(0,1)上一致收敛于无界函数 $\frac{1}{x}$ .
(2) 因为 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{1 + {nx}} = 0}$ ,所以
$$ {E}_{n} = \mathop{\sup }\limits_{{0 < x < 1}}\left| \frac{1}{1 + {nx}}\right| \geq \frac{1}{1 + n \cdot \frac{1}{n}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{E}_{n} \neq 0, $$
由此知 ${f}_{n}\left( x\right) = \frac{1}{1 + {nx}}$ 在(0,1)上不一致收敛.