📝 题目
例 5 求证: 级数 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n - 1}}{n + x}$ 在 $x \geq 0$ 上一致收敛.
💡 答案与解析
证 因为
$$ \left| {S\left( x\right) - {S}_{n}\left( x\right) }\right| = \left| {{r}_{n}\left( x\right) }\right| \leq \frac{1}{n + 1 + x} \leq \frac{1}{n + 1}, $$
所以
$$ \mathop{\sup }\limits_{{x \geq 0}}\left| {S\left( x\right) - {S}_{n}\left( x\right) }\right| \rightarrow 0\;\left( {n \rightarrow \infty }\right) , $$
从而原级数在 $x \geq 0$ 上一致收敛.
评注 以上三个例题说明了 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\left( x\right)$ 在 $X$ 上一致收敛的条件下,关于 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left| {{u}_{n}\left( x\right) }\right|$ 可能发生如下三种情况:
(1) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left| {{u}_{n}\left( x\right) }\right|$ 在 $X$ 上一致收敛;
(2) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left| {{u}_{n}\left( x\right) }\right|$ 在 $X$ 上收敛但不一致收敛；
(3) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left| {{u}_{n}\left( x\right) }\right|$ 在 $X$ 上发散.