📝 题目
例 9 求证: 黎曼 $\zeta$ 函数 $\zeta \left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{x}}$ 具有如下性质:
(1) 在 $x > 1$ 上连续;
(2)在 $x > 1$ 上连续可微.
💡 答案与解析
证(1)对 $\forall {x}_{0} > 1,\exists p \in \left( {1,{x}_{0}}\right)$ ,使得
$$ 0 < \frac{1}{{n}^{x}} = \frac{1}{{n}^{x - p}} \cdot \frac{1}{{n}^{p}} \leq \frac{1}{{n}^{p}}\;\left( {\forall x \geq p}\right) , $$
又 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{p}} < + \infty}$ ,从而 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{n}^{x}}}$ 在 $x \geq p$ 上一致收敛. 进一步由连续性定理,可知函数 $\zeta \left( x\right)$ 在 $x \geq p$ 上连续,特别在 ${x}_{0}$ 点连续. 由于 ${x}_{0}$ 的任意性,即可肯定 $\xi \left( x\right)$ 在 $x > 1$ 上连续.
(2) 由 (1) 可知
$$ {\left( \frac{1}{{n}^{x}}\right) }^{\prime } = - \frac{\ln n}{{n}^{x}} \in C\left( {1, + \infty }\right) . $$
对 $\forall {x}_{0} > 1,\exists p \in \left( {1,{x}_{0}}\right)$ ,使得
$$ 0 \leq \frac{\ln n}{{n}^{x}} \leq \frac{\ln n}{{n}^{p}}\;\left( {\forall x \geq p}\right) . $$
又 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\ln n}{{n}^{p}}}$ 收敛,从而 $\displaystyle{- \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\ln n}{{n}^{x}}}$ 在 $x \geq p$ 上一致收敛. 进一步由逐项求导与连续性定理知
$$ {\zeta }^{\prime }\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( \frac{1}{{n}^{x}}\right) }^{\prime } = - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\ln n}{{n}^{x}}\;\left( {\forall x \geq p}\right) , $$
且 ${\zeta }^{\prime }\left( x\right)$ 在 $x \geq p$ 上连续,特别 $\zeta \left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 点可导且 ${\zeta }^{\prime }\left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 连续. 由 ${x}_{0}$ 的任意性,即可肯定 $\zeta \left( x\right)$ 在 $x > 1$ 上连续可微.
评注 若能在开区间上直接应用连续定理和逐项可微定理当然更好, 否则先在缩小的区间上应用连续性定理或逐项微商定理, 然后利用在任意点成立,把结论推广到开区间.