📝 题目
例 17 设 $I$ 是某个区间,数列 ${x}_{n}$ 由迭代公式 ${x}_{n + 1} = f\left( {x}_{n}\right) (n \in$ $N)$ 产生,如果对 $\forall n \in N$ 推出 ${x}_{n} \in I$ . 求证:
(1)当 $f$ 在区间 $I$ 上严格单调增加时, $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 为严格单调数列；
(2)当 $f$ 在区间 $I$ 上严格单调减少时, $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 的两个子列 $\left\{ {x}_{2n}\right\}$ 和 $\left\{ {x}_{{2n} + 1}\right\}$ 都为严格单调数列,且具有相反的单调性.
💡 答案与解析
证(1)以下分两种情况考虑:
① 如果 ${x}_{2} = f\left( {x}_{1}\right) > {x}_{1}$ ,那么用数学归纳法容易证明数列 ${x}_{n}$ 必为严格单调增加数列;
② 如果 ${x}_{2} = f\left( {x}_{1}\right) < {x}_{1}$ ,那么用数学归纳法容易证明数列 ${x}_{n}$ 必为严格单调下降数列.
(2)注意到,当 $f$ 在区间 $I$ 上严格单调减少时,复合函数 $f\left( {f\left( x\right) }\right)$ 恰好是严格单调增加的. 应用第 (1) 小题的结论即得证明.
评注 (1) 本题如果将条件中的 “严格”去掉, 那么结论中的 “严格”也应该相应去掉,这时数列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 可能从某一项起为常数列.
(2)当 $I$ 是一个有限区间时,条件 “对 $\forall n \in N$ 推出 ${x}_{n} \in I$ ” 意味着数列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 有界. 由此,应用第 (1) 小题的结论,当 $f$ 在区间 $I$ 上严格单调增加时,极限 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}$ 一定存在; 应用第 (2) 小题的结论,当 $f$ 在区间 $I$ 上严格单调减少时,极限 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{2n}}$ 和 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{{2n} + 1}}$ 都一定存在,只要这两个极限相等,就保证极限 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}$ 存在.
(3)由迭代公式 ${x}_{n + 1} = f\left( {x}_{n}\right) \left( {n \in N}\right)$ 产生的数列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ ,如果极限 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}$ 存在已得到证明,可设 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = x}$ ,通过对迭代公式
$$ {x}_{n + 1} = f\left( {x}_{n}\right) \;\left( {n \in N}\right) $$
两边取极限常常可能求得极限值 $x$ .
\subsubsection{五、用序列的收敛原理}