📝 题目
例 19 求证: 序列 ${x}_{n} = \frac{\cos 1}{1 \cdot 2} + \frac{\cos 2}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{\cos n}{n\left( {n + 1}\right) }$ 收敛.
💡 答案与解析
证 对 $\forall n,p \in N$ ,有
$$ \left| {{x}_{n + p} - {x}_{n}}\right| < \frac{1}{\left( {n + 1}\right) \left( {n + 2}\right) } + \frac{1}{\left( {n + 2}\right) \left( {n + 3}\right) } $$
$$ + \cdots + \frac{1}{\left( {n + p}\right) \left( {n + p + 1}\right) } $$
$$ = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + p + 1} < \frac{1}{n + 1} < \frac{1}{n}. $$
由此可见,对 $\forall \varepsilon > 0,\exists N = \left\lbrack \frac{1}{\varepsilon }\right\rbrack$ ,使得当 $n > N$ 时,有 $\left| {{x}_{n + p} - {x}_{n}}\right| <$ $\varepsilon \left( {\forall p \in N}\right)$ . 由收敛原理知 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 收敛.
评注 从本例可以看出收敛原理的优点之一: 它从序列本身的结构来判断收敛性, 因此不需要事先知道极限值.