📝 题目
例 3 设 $E \subset {\mathbf{R}}^{m}$ 是闭集, $x \in {\mathbf{R}}^{m}$ ,求证:
(1) $\exists y \in E$ ,使得 $\rho \left( {x,E}\right) = \rho \left( {x,y}\right)$ ；
(2)若 $x\bar{ \in }E$ ,则 $\rho \left( {x,E}\right) > 0$ .
💡 答案与解析
证(1)由距离定义, $\exists {y}_{n} \in \mathbf{E}\left( {n = 1,2,\cdots }\right)$ ,使得
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\rho \left( {x,{y}_{n}}\right) = \rho \left( {x,E}\right) . \tag{1.3} $$
$$ \left| {\mathbf{y}}_{n}\right| \leq \left| {{\mathbf{y}}_{n} - \mathbf{x}}\right| + \left| \mathbf{x}\right| = \rho \left( {\mathbf{x},{\mathbf{y}}_{n}}\right) + \left| \mathbf{x}\right| , $$
由 (1.3) 式知数列 $\rho \left( {x,{y}_{n}}\right)$ 有界,再由上式可得 $\left| {y}_{n}\right|$ 有界. 根据紧性定理,存在子列 $\left\{ {y}_{{n}_{k}}\right\}$ ,使得 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{y}_{{n}_{k}} = y}$ . 因集合 $E$ 是闭的,所以 $y \in E$ . 注意到 $\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}\rho \left( {y,{y}_{{n}_{k}}}\right) = 0$ 及 $\left| {\rho \left( {x,{y}_{{n}_{k}}}\right) - \rho \left( {x,y}\right) }\right| \leq \rho \left( {y,{y}_{{n}_{k}}}\right)$ ,可得
$$ \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}\rho \left( {x,{y}_{{n}_{k}}}\right) = \rho \left( {x,y}\right) . \tag{1.4} $$
根据 (1.3) 与 (1.4) 式,即得 $\rho \left( {\mathbf{x},\mathbf{y}}\right) = \rho \left( {\mathbf{x},E}\right)$ .
(2)因 $x \neq y$ ,由(1)即得 $\rho \left( {x,E}\right) = \rho \left( {x,y}\right) > 0$ .