📝 题目
例 8 对下列函数 $f\left( {x,y}\right)$ ,求证: $\mathop{\lim }\limits_{{\left( {x,y}\right) \rightarrow \left( {0,0}\right) }}f\left( {x,y}\right)$ 不存在.
(1) $f\left( {x,y}\right) = {x}^{y}\left( {x > 0,y > 0}\right)$ ;
(2) $f\left( {x,y}\right) = \frac{{x}^{3} + {y}^{3}}{{x}^{2} + y}\left( {{x}^{2} + y \neq 0}\right)$ .
💡 答案与解析
证 (1) 由 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}{x}^{y} = 0}$ ,得 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow 0}}\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}{x}^{y} = 0}$ . 又由 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow 0}}{x}^{y} = 1}$ ,得 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow 0}}{x}^{y} = 1}$ . 因两个累次极限不相等,所以全面极限 $\mathop{\lim }\limits_{{\left( {x,y}\right) \rightarrow \left( {0,0}\right) }}{x}^{y}$ 不存在.
(2)令 $y = x$ ,则
$$ \mathop{\lim }\limits_{{\left( {x,y}\right) \rightarrow \left( {0,0}\right) }}\frac{{x}^{3} + {y}^{3}}{{x}^{2} + y} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{2{x}^{3}}{{x}^{2} + x} = 0. $$
再令 $y = - {x}^{2} + {x}^{3}$ ,则
$$ \mathop{\lim }\limits_{{\left( {x,y}\right) \rightarrow \left( {0,0}\right) }}\frac{{x}^{3} + {y}^{3}}{{x}^{2} + y} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{{x}^{3} + {\left( -{x}^{2} + {x}^{3}\right) }^{3}}{{x}^{3}} = 1. $$
由于沿两条路径函数的极限值不同,所以全面极限不存在.