📝 题目
例 9 设 $f\left( {x,y}\right)$ 在开半平面 $x > 0$ 上二元连续,固定 $y$ ,极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {0}^{ + }}}f\left( {x,y}\right) = \varphi \left( y\right)$ 存在,在 $y$ 轴上函数补充定义 $f\left( {0,y}\right) = \varphi \left( y\right)$ 后, 问函数 $f\left( {x,y}\right)$ 是否在 $x \geq 0$ 上二元连续. 考虑例子:
$$ f\left( {x,y}\right) = \frac{{x}^{2}y}{{x}^{4} + {y}^{2}}\;\left( {x > 0}\right) . $$
💡 答案与解析
解 不一定. 如函数 $f\left( {x,y}\right)$ 恒为常数,显然结论是对的. 但对所给的函数, 补充定义后的函数为
$$ f\left( {x,y}\right) = \left\{ \begin{matrix} \frac{{x}^{2}y}{{x}^{4} + {y}^{2}}, & x > 0, \\ 0, & x = 0. \end{matrix}\right. $$
令 $y = {x}^{2}$ ,则
$$ \mathop{\lim }\limits_{{\left( {x,y}\right) \rightarrow \left( {0,0}\right) }}\frac{{x}^{2}y}{{x}^{4} + {y}^{2}} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{{x}^{4}}{2{x}^{4}} = \frac{1}{2} \neq 0 = f\left( {0,0}\right) , $$
所以 $f\left( {x,y}\right)$ 在 $x \geq 0$ 上不是二元连续函数.
说明 上述所给函数 $f\left( {x,y}\right)$ ,固定 $x \geq 0$ ,作为 $y$ 的函数在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 是连续的. 同样固定 $y$ ,作为 $x$ 的函数在 $\lbrack 0, + \infty )$ 上是连续的. 但它在 $x \geq 0$ 上不是二元连续的. 又固定 $a \in \left\lbrack {-\pi /2,\pi /2}\right\rbrack$ , 考虑过原点的射线 $x = t\cos \alpha ,y = t\sin \alpha \left( {t \geq 0}\right)$ ,函数限制在射线上是一元连续的. 尽管如此函数可以非二元连续.