📝 题目
例 11 设 $f\left( x\right)$ 在 ${\mathbf{R}}^{m}$ 上连续,满足:
(1) $x \neq 0$ 时, $f\left( x\right) > 0$ ；
(2)对任意 $x$ 和正常数 $c,f\left( {cx}\right) = {cf}\left( x\right)$ .
求证: 存在 $a > 0,b > 0$ ,使得 $a\left| \mathbf{x}\right| \leq f\left( \mathbf{x}\right) \leq b\left| \mathbf{x}\right|$ .
思路 根据 $f$ 的性质,要证的结论可改写成
$$ a \leq f\left( {x/\left| x\right| }\right) \leq b\;\left( {\forall x \in {\mathbf{R}}^{m}\smallsetminus \{ 0\} }\right) . $$
💡 答案与解析
证 考虑有界闭集 $S = \{ \mathbf{x} \mid \left| \mathbf{x}\right| = 1\}$ . 由于 $f\left( \mathbf{x}\right)$ 在 $S$ 上连续,根据连续函数的性质, $f\left( x\right)$ 必在 $S$ 上的 ${x}_{1}$ 和 ${x}_{2}$ 点分别取到它在 $S$ 上的最大值 $f\left( {x}_{1}\right)$ 和最小值 $f\left( {x}_{2}\right)$ . 若记 $b = f\left( {x}_{1}\right) > 0,a = f\left( {x}_{2}\right) > 0$ ,那么 $\forall \mathbf{x} \in {\mathbf{R}}^{m} \smallsetminus \{ 0\} ,\mathbf{x}/\left| \mathbf{x}\right| \in S$ ,所以
$$ a \leq f\left( {x/\left| x\right| }\right) \leq b\text{ 或 }a\left| x\right| \leq f\left( x\right) \leq b\left| x\right| . $$