📝 题目
例 2 设 $\Omega \subset {\mathbf{R}}^{2}$ 为区域. 在 $\Omega$ 内 ${f}_{x}^{\prime }\left( {x,y}\right) \equiv 0,{f}_{y}^{\prime }\left( {x,y}\right) \equiv 0$ . 求证: $f\left( {x,y}\right)$ 在 $\Omega$ 内为常数.
💡 答案与解析
证 设 $U$ 是属于 $\Omega$ 且以(a, b)为心的圆. 对 $U$ 内任意一点 (x, y),由一元函数的微分中值定理得
$$ f\left( {x,y}\right) - f\left( {a,b}\right) = f\left( {x,y}\right) - f\left( {a,y}\right) + f\left( {a,y}\right) - f\left( {a,b}\right) $$
$$ = {f}_{x}^{\prime }\left\lbrack {a + {\theta }_{1}\left( {x - a}\right) ,y}\right\rbrack \left( {x - a}\right) $$
$$ + {f}_{y}^{\prime }\left\lbrack {a,b + {\theta }_{2}\left( {y - b}\right) }\right\rbrack \left( {y - b}\right) $$
$$ = 0\;\left( {0 < {\theta }_{1},{\theta }_{2} < 1}\right) , $$
即
$$ \forall \left( {x,y}\right) \in U,\;f\left( {x,y}\right) \equiv f\left( {a,b}\right) . $$
上面只证明了在属于 $\Omega$ 的每一圆上函数为常数. 为了证在 $\Omega$ 上函数是常数,我们任取一点 $\left( {{x}^{\prime },{y}^{\prime }}\right) \in \Omega$ ,由于 $\Omega$ 为区域,总存在属于 $\Omega$ 的连续曲线 $\Gamma$ ,连接点(a, b)与 $\left( {{x}^{\prime },{y}^{\prime }}\right)$ . 对 $\Gamma$ 上每一点 $M\left( {x,y}\right)$ , $\rho \left( {M,\partial \Omega }\right) = {\rho }_{M} > 0$ ,以 $M$ 为心,以 ${\rho }_{M}$ 为半径作圆 $U\left( {M;{\rho }_{M}}\right)$ . 则集合 $\left\{ {U\left( {M;{\rho }_{M}}\right) \mid M \in \Gamma }\right\}$ 为 $\Gamma$ 的一个开覆盖. 根据有限覆盖定理,存在有限个圆 $U\left( {{M}_{i};{\rho }_{{M}_{i}}}\right) \left( {i = 1,\cdots ,N}\right)$ 将 $\Gamma$ 盖住,无妨设
$$ U\left( {{M}_{i};{\rho }_{{M}_{i}}}\right) \cap U\left( {{M}_{i + 1};{\rho }_{{M}_{i + 1}}}\right) \neq \varnothing \;\left( {i = 1,\cdots ,N - 1}\right) . $$
既然在每个圆上函数为常数, 且在两圆相交部分函数值应相等, 故在 $\Gamma$ 上函数为常数,特别有 $f\left( {{x}^{\prime },{y}^{\prime }}\right) = f\left( {a,b}\right)$ . 由 $\left( {{x}^{\prime },{y}^{\prime }}\right)$ 的任意性,所以函数在 $\Omega$ 上为常数.
评注 证明中通过 “加一项,减一项”的方法,把多元函数化为一元函数, 这是处理多元函数一种常用的方法. 利用覆盖定理, 把命题在局部成立推广到整体成立, 这也是一种常用的手法.