📝 题目
例 21 设序列 ${x}_{n}$ 无上界. 求证: 存在子序列 $\left\{ {x}_{{n}_{k}}\right\}$ ,使得
$$ \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{x}_{{n}_{k}} = + \infty $$
💡 答案与解析
证 对于 ${m}_{1} = 1,\exists {n}_{1}$ ,使得 ${x}_{{n}_{1}} > {m}_{1}$ ,
对于 $\displaystyle{m}_{2} = \max \left\{ {{x}_{1},\cdots ,{x}_{{n}_{1}},2}\right\} ,\exists {n}_{2} > {n}_{1}}$ ,使得 ${x}_{{n}_{2}} > {m}_{2}$ ,
对于 $\displaystyle{m}_{3} = \max \left\{ {{x}_{1},\cdots ,{x}_{{n}_{2}},3}\right\} ,\exists {n}_{3} > {n}_{2}}$ ,使得 ${x}_{{n}_{3}} > {m}_{3}$ ,
$\vdots$
对于 $\displaystyle{m}_{k} = \max \left\{ {{x}_{1},\cdots ,{x}_{{n}_{k}},k}\right\} ,\exists {n}_{k} > {n}_{k - 1}}$ ,使得 ${x}_{{n}_{k}} > {m}_{k}$ ,
$\vdots$
这样产生一子序列 $\left\{ {x}_{{n}_{k}}\right\}$ ,因为 ${x}_{{n}_{k}} > {m}_{k} \geq k$ ,由广义极限不等式推出
$$ \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{x}_{{n}_{k}} = + \infty \text{ . } $$