📝 题目
例 5 知
$$ \frac{\partial f}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \cos \theta + \frac{\partial f}{\partial y}\sin \theta = \frac{1}{r}\left( {x\frac{\partial f}{\partial x} + y\frac{\partial f}{\partial y}}\right) = 0. $$
上式说明 $f$ 在极坐标系里只是 $\theta = \arctan \left( {y/x}\right)$ 的函数,这等价于 $f$ 只是 $y/x$ 的函数,不妨记 $f\left( {x,y}\right) = \varphi \left( {y/x}\right)$ . 显然 $\varphi$ 是零次齐次函数.
💡 答案与解析
证法 2 令 $\xi = x,\eta = y/x$ . 变换把 $f\left( {x,y}\right)$ 变为 $F\left( {\xi ,\eta }\right)$ ,即 $f\left( {\xi ,{\xi \eta }}\right) = F\left( {\xi ,\eta }\right)$ . 由复合函数求偏导数得
$$ {f}_{x}^{\prime } = {F}_{\xi }^{\prime } \cdot 1 + {F}_{\eta }^{\prime } \cdot \left( {-y/{x}^{2}}\right) ,\;{f}_{y}^{\prime } = {F}_{\xi }^{\prime } \cdot 0 + {F}_{\eta }^{\prime } \cdot \frac{1}{x}. $$
再由条件
$$ x{f}_{x}^{\prime } + y{f}_{y}^{\prime } = \xi {F}_{\xi }^{\prime } - \eta {F}_{\eta }^{\prime } + \eta {F}_{\eta }^{\prime } = \xi {F}_{\xi }^{\prime } = 0, $$
得出 ${F}_{\xi }^{\prime } = 0$ ,这意味着 $F$ 只是 $\eta$ 的函数,即
$$ f\left( {\xi ,{\xi \eta }}\right) = F\left( \eta \right) \text{ 或 }f\left( {x,y}\right) = F\left( {y/x}\right) . $$
证法 3 上面复合函数求偏导数时,是把 $x,y$ 作为自变量,也可以把 $\xi ,\eta$ 作为自变量. 因 $x = \xi ,y = {\xi \eta }$ ,所以
$$ {F}_{\xi }^{\prime } = {f}_{x}^{\prime } \cdot 1 + {f}_{y}^{\prime } \cdot \eta = \frac{1}{x}\left( {x{f}_{x}^{\prime } + y{f}_{y}^{\prime }}\right) = 0. $$
同样得到 $F$ 只是 $\eta$ 的函数.