方企勤第一章分析基础第2题

教材习题

📝 题目

例 2 (1) 问 $f\left( x\right) = x - \left\lbrack x\right\rbrack$ 是否是周期函数? 并画出它的图形 (其中 $\left\lbrack x\right\rbrack$ 表示 $x$ 的整数部分).

(2)两个周期函数之和是否一定是周期函数?

解 (1) 因为 $\left\lbrack x\right\rbrack \leq x < \left\lbrack x\right\rbrack + 1$ ,所以

$$
\left\lbrack x\right\rbrack + 1 \leq x + 1 < \left\lbrack x\right\rbrack + 1 + 1.
$$

按 $\left\lbrack x\right\rbrack$ 的定义,即得 $\left\lbrack {x + 1}\right\rbrack = \left\lbrack x\right\rbrack + 1$ . 从而

$$
f\left( {x + 1}\right) = x + 1 - \left\lbrack {x + 1}\right\rbrack = x - \left\lbrack x\right\rbrack = f\left( x\right) ,
$$

即 $f\left( x\right)$ 是以 1 为周期的周期函数. 如图 1.1 所示.

\begin{center}
\includegraphics[max width=0.3\textwidth]{images/001.jpg}
\end{center}
\hspace*{3em}

图 1.1

(2)答案是:不一定. 例如,函数 $x - \left\lbrack x\right\rbrack + \sin x$ 就不是周期函数.

步骤 1/3

目标：证明f(x)=x-[x]是周期函数

根据取整函数的性质，[x] ≤ x < [x]+1，因此[x]+1 ≤ x+1 < [x]+2，所以[x+1]=[x]+1。代入f(x+1)得f(x+1)=x+1-[x+1]=x+1-([x]+1)=x-[x]=f(x)，故f(x)以1为周期。

公式：f(x+1)=f(x)

提示：注意取整函数的性质：对任意实数x，[x]是整数且[x]≤x<[x]+1。

步骤 2/3

目标：画出f(x)=x-[x]的图形

f(x)=x-[x]是小数部分函数，图形为在区间[0,1)上从0到1的直线（不包括右端点），然后周期重复。在每个区间[k, k+1)上，图形是斜率为1的线段，从0到1。

提示：图形是锯齿形，周期为1。

步骤 3/3

目标：判断两个周期函数之和是否一定是周期函数

不一定。例如，取f(x)=x-[x]（周期1）和g(x)=sin x（周期2π），它们的和h(x)=x-[x]+sin x不是周期函数，因为若存在周期T，则h(x+T)=h(x)对所有x成立，但通过分析可知不存在这样的T。

提示：反例：两个周期函数的周期之比为无理数时，和通常不是周期函数。

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