📝 题目
例 9 求出函数 $f\left( {x,y}\right) = \frac{x}{y}$ 在(1,1)点邻域带皮亚诺余项的泰勒公式.
💡 答案与解析
解 利用一元函数的泰勒公式, 我们有
$$ f\left( {x,y}\right) = \frac{x}{y} = \frac{1 + \left( {x - 1}\right) }{1 + \left( {y - 1}\right) } $$
$$ = \left\lbrack {1 + \left( {x - 1}\right) }\right\rbrack \left\lbrack {\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{\left( -1\right) }^{n}{\left( y - 1\right) }^{n} + o\left( {\left( y - 1\right) }^{n}\right) }\right\rbrack $$
$$ = 1 + \left( {x - 1}\right) - \left( {y - 1}\right) - \left( {x - 1}\right) \left( {y - 1}\right) $$
$$ + {\left( y - 1\right) }^{2} + \cdots + {\left( -1\right) }^{n - 1}\left( {x - 1}\right) {\left( y - 1\right) }^{n - 1} $$
$$ + {\left( -1\right) }^{n}{\left( y - 1\right) }^{n} + o\left( {\rho }^{n}\right) , $$
其中 $\rho = \sqrt{{\left( x - 1\right) }^{2} + {\left( y - 1\right) }^{2}}$ .
评注 求具体函数的泰勒公式时, 多数可化为一元函数泰勒公式来处理.