📝 题目
例 11 设 $\Omega \subset {\mathbf{R}}^{m}$ 是凸域, $f\left( \mathbf{x}\right) \in {C}^{2}\left( {\Omega ,\mathbf{R}}\right)$ ,且满足
$$ f\left( \mathbf{x}\right) \geq f\left( {\mathbf{x}}_{0}\right) + \mathrm{D}f\left( {\mathbf{x}}_{0}\right) \left( {\mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}}\right) \;\left( {\forall \mathbf{x},{\mathbf{x}}_{0} \in \Omega }\right) , $$
💡 答案与解析
证明: $f\left( \mathbf{x}\right)$ 的海色矩阵 ${H}_{f}\left( \mathbf{x}\right)$ 是半正定的.
证 $\forall {x}_{0} \in \Omega ,x \in {\mathbf{R}}^{m}$ 为任一向量,当 $t$ 充分小时,点 ${x}_{0} + t(x -$ $\left. {x}_{0}\right) \in \Omega$ . 由泰勒公式得:
$$ f\left\lbrack {{\mathbf{x}}_{0} + t\left( {\mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}}\right) }\right\rbrack = f\left( {\mathbf{x}}_{0}\right) + \mathrm{D}f\left( {\mathbf{x}}_{0}\right) t\left( {\mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}}\right) $$
$$ + \frac{{t}^{2}}{2}{\left( \mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}\right) }^{\mathrm{T}}{H}_{f}\left( {\mathbf{x}}_{0}\right) \left( {\mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}}\right) + o\left( {{t}^{2}{\left| \mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}\right| }^{2}}\right) . $$
根据条件
$$ f\left\lbrack {{\mathbf{x}}_{0} + t\left( {\mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}}\right) }\right\rbrack \geq f\left( {\mathbf{x}}_{0}\right) + \mathrm{D}f\left( {\mathbf{x}}_{0}\right) t\left( {\mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}}\right) , $$
故有 $\frac{{t}^{2}}{2}{\left( \mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}\right) }^{\mathrm{T}}{H}_{f}\left( {\mathbf{x}}_{0}\right) \left( {\mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}}\right) + o\left( {{t}^{2}{\left| \mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}\right| }^{2}}\right) \geq 0$ .
上式消去 ${t}^{2}$ ,并令 $t \rightarrow 0$ ,即得
$$ {\left( \mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}\right) }^{\mathrm{T}}{H}_{f}\left( {\mathbf{x}}_{0}\right) \left( {\mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}}\right) \geq 0. $$
这表明矩阵 ${H}_{f}\left( {\mathbf{x}}_{0}\right)$ 是半正定的. 由于 ${\mathbf{x}}_{0}$ 任意性,所以海色矩阵在 $\mathbf{\Omega }$ 上是半正定的.
评注 由本题,通过循环证明可以看出下列三个命题是等价的； 函数在凸域上为凹函数; 函数表示的曲面位于切平面之上; 函数的海色矩阵是半正定的.