📝 题目
例 2 求由方程 $f\left( {x - y,y - z,z - x}\right) = 0$ 所确定的函数 $z =$ $z\left( {x,y}\right)$ 的微分.
💡 答案与解析
解 由一阶微分的形式的不变性, 对方程求微分得
$$ {f}_{1}^{\prime }\left( {\mathrm{d}x - \mathrm{d}y}\right) + {f}_{2}^{\prime }\left( {\mathrm{d}y - \mathrm{d}z}\right) + {f}_{3}^{\prime }\left( {\mathrm{d}z - \mathrm{d}x}\right) = 0, $$
解出 $\mathrm{d}z = \frac{{f}_{1}^{\prime } - {f}_{3}^{\prime }}{{f}_{2}^{\prime } - {f}_{3}^{\prime }}\mathrm{d}x + \frac{{f}_{2}^{\prime } - {f}_{1}^{\prime }}{{f}_{2}^{\prime } - {f}_{3}^{\prime }}\mathrm{d}y\;\left( {{f}_{2}^{\prime } - {f}_{3}^{\prime } \neq 0}\right)$ .
评注 若题需要求一阶偏导数时, 我们可以利用一阶微分的形式的不变性, 先求出微分, 从而求出所有一阶偏导数.