📝 题目
例 3 设 $f\left( x\right) ,g\left( x\right)$ 在集合 $X$ 上有界,求证:
$$ \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) + g\left( x\right) \} \leq \left\{ \begin{array}{l} \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) \} + \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ g\left( x\right) \} , \\ \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) \} + \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ g\left( x\right) \} . \end{array}\right. $$
💡 答案与解析
证 由下确界定义有
$$ \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) + g\left( x\right) \} \leq f\left( x\right) + g\left( x\right) $$
$$ \leq f\left( x\right) + \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}g\left( x\right) \;\left( {\forall x \in X}\right) . $$
移项即得
$$ \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) + g\left( x\right) \} - \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}g\left( x\right) \leq f\left( x\right) \;\left( {\forall x \in X}\right) . $$
由下确界定义有
$$ \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) + g\left( x\right) \} - \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ g\left( x\right) \} \leq \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) \} , $$
即得要证的第一式,又因为 $f\left( x\right)$ 与 $g\left( x\right)$ 所处的地位是对称的,故第二式也成立.
评注 解这类问题的一般方法是: 先把三个集合
$$ \{ f\left( x\right) \} ,\{ g\left( x\right) \} ,\{ f\left( x\right) + g\left( x\right) \} $$
中的两个放大或缩小成上、下确界,即得第三个集合的下界或上界, 从而得到上、下确界.