📝 题目
例 22 求证: 序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 有界的充分且必要条件是: $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 的任意子序列 $\left\{ {x}_{{n}_{k}}\right\}$ 都有收敛的子序列.
💡 答案与解析
证 必要性 因为 ${x}_{n}$ 有界,所以 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 的任意子序列 ${x}_{{n}_{k}}$ 也有界, 由波尔察诺定理, 它必有收敛的子序列.
充分性 用反证法. 假设 ${x}_{n}$ 无界,那么它一定是无上界或无下界. 不妨设 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 无上界 (否则考虑 $\left\{ {-{x}_{n}}\right\}$ ). 由