📝 题目
例 2 求椭球面 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} + \frac{{z}^{2}}{{c}^{2}} = 1$ 在 $M\left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}}\right)$ 点的切平面方程.
💡 答案与解析
解 法向量 $\mathbf{N} = \left( {\frac{2{x}_{0}}{{a}^{2}},\frac{2{y}_{0}}{{b}^{2}},\frac{2{z}_{0}}{{c}^{2}}}\right)$ ,所以切平面方程为
$$ \left( {x - {x}_{0}}\right) \frac{2{x}_{0}}{{a}^{2}} + \left( {y - {y}_{0}}\right) \frac{2{y}_{0}}{{b}^{2}} + \left( {z - {z}_{0}}\right) \frac{2{z}_{0}}{{c}^{2}} = 0, $$
化简得
$$ \frac{x{x}_{0}}{{a}^{2}} + \frac{y{y}_{0}}{{b}^{2}} + \frac{z{z}_{0}}{{c}^{2}} = 1. $$