📝 题目
例 5 求证: 锐角三角形内一点到三顶点连线成等角时, 该点到三顶点距离之和为最小.
💡 答案与解析
证 设三角形的三顶点为 $O\left( {0,0}\right)$ , $A\left( {a,0}\right) ,B\left( {b,c}\right)$ . 则三角形内一点 $M\left( {x,y}\right)$ 到三顶点距离之和为
$$ f\left( {x,y}\right) = \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}} + \sqrt{{\left( x - a\right) }^{2} + {y}^{2}} $$
$$ + \sqrt{{\left( x - b\right) }^{2} + {\left( y - c\right) }^{2}}\text{ . } $$
设向量 $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM}$ 与 $x$ 轴的夹角分别为 ${\theta }_{1},{\theta }_{2},{\theta }_{3}$ (见图 5.4),则
$$ {f}_{x}^{\prime } = \frac{x}{\sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}} + \frac{x - a}{\sqrt{{\left( x - a\right) }^{2} + {y}^{2}}} + \frac{x - b}{\sqrt{{\left( x - b\right) }^{2} + {\left( y - c\right) }^{2}}} $$
$$ = \cos {\theta }_{1} + \cos {\theta }_{2} + \cos {\theta }_{3}\overset{\text{ 令 }}{ = }0\text{ , } \tag{4.1} $$
$$ {f}_{y}^{\prime } = \frac{y}{\sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}} + \frac{y}{\sqrt{{\left( x - a\right) }^{2} + {y}^{2}}} + \frac{y - c}{\sqrt{{\left( x - b\right) }^{2} + {\left( y - c\right) }^{2}}} $$
$$ = \sin {\theta }_{1} + \sin {\theta }_{2} + \sin {\theta }_{3}\overset{\text{ 令 }}{ = }0\text{ . } \tag{4.2} $$
由 (4.1) 与 (4.2) 式, 得
$$ \left\{ \begin{array}{l} \cos {\theta }_{1} + \cos {\theta }_{2} = - \cos {\theta }_{3}, \\ \sin {\theta }_{1} + \sin {\theta }_{2} = - \sin {\theta }_{3}. \end{array}\right. \tag{4.3} $$ (4.4)
再由 (4.3) 式 ${}^{2} + \left( {4.4}\right) {\text{ 式 }}^{2}$ 解出 $\cos \left( {{\theta }_{2} - {\theta }_{1}}\right) = - 1/2$ ,故 ${\theta }_{2} - {\theta }_{1} = {2\pi }/3$ 或 ${4\pi }/3$ . 同理 ${\theta }_{3} - {\theta }_{2} = {2\pi }/3$ 或 ${4\pi }/3$ . 结合实际意义可见 ${\theta }_{2} - {\theta }_{1} = {\theta }_{3} -$ ${\theta }_{2} = {2\pi }/3$ 时,函数 $f\left( {x,y}\right)$ 取到最小值.
要说明函数 $f\left( {x,y}\right)$ 在三角形内部确有最小值,我们可以这样来看. 先限制在三条边上考查, 显然函数在三个垂足之一取到最小值. 然后让动点从该垂足处垂直地向三角形内部移动距离 $\varepsilon$ ,则一条连线缩短的距离为 $\varepsilon$ ,另两条连线伸长的距离为 ${\varepsilon }^{2}$ 数量级,故函数 $f\left( {x,y}\right)$ 在三角形内部有最小值.