📝 题目
解 $\forall R > 0$ ,考虑矩形 $\left| x\right| \leq R,\left| t\right| \leq R$ . 函数 $\displaystyle{\int }_{t}^{x}{\mathrm{e}}^{-{s}^{2}}\mathrm{\;d}s}$ 及其对 $x$ 的偏导数 ${\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}$ 在矩形上连续, $\varphi \left( x\right) = 0,\psi \left( x\right) = x$ 显然符合定理 1 中条件, 于是有
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = {\int }_{0}^{x}{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}t + {\int }_{x}^{x}{\mathrm{e}}^{-{s}^{2}}\mathrm{\;d}s = x{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}. $$
因 $f\left( 0\right) = 0$ ,所以
$$ f\left( x\right) = {\int }_{0}^{x}t{\mathrm{e}}^{-{t}^{2}}\mathrm{\;d}t = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}. $$
💡 答案与解析
解 $\forall R > 0$ ,考虑矩形 $\left| x\right| \leq R,\left| t\right| \leq R$ . 函数 $\displaystyle{\int }_{t}^{x}{\mathrm{e}}^{-{s}^{2}}\mathrm{\;d}s}$ 及其对 $x$ 的偏导数 ${\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}$ 在矩形上连续, $\varphi \left( x\right) = 0,\psi \left( x\right) = x$ 显然符合定理 1 中条件, 于是有
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = {\int }_{0}^{x}{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}t + {\int }_{x}^{x}{\mathrm{e}}^{-{s}^{2}}\mathrm{\;d}s = x{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}. $$
因 $f\left( 0\right) = 0$ ,所以
$$ f\left( x\right) = {\int }_{0}^{x}t{\mathrm{e}}^{-{t}^{2}}\mathrm{\;d}t = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}. $$