📝 题目
例 1 设 $A \subset B$ 为 ${\mathbf{R}}^{m}$ 中的有界集,证明
(1) ${V}^{ - }\left( A\right) \leq {V}^{ - }\left( B\right) ,{V}^{ + }\left( A\right) \leq {V}^{ + }\left( B\right)$ ；
(2)若 $V\left( B\right) = 0$ ,则 $V\left( A\right) = 0$ .
💡 答案与解析
证 (1) 用超平面 ${x}_{i} = k/{2}^{n}\left( {k = 0, \pm 1, \pm 2,\cdots ;i = 1,\cdots ,m}\right)$ 作 ${\mathbf{R}}^{m}$ 的 $n$ 阶网格,若某个网格 (即闭立方体) 含在 ${A}^{ \circ }$ 内,则必含在 ${B}^{ \circ }$ 内,所以 ${V}_{n}^{ - }\left( A\right) \leq {V}_{n}^{ - }\left( B\right)$ . 令 $\displaystyle{n \rightarrow \infty}$ ,即得 ${V}^{ - }\left( A\right) \leq {V}^{ - }\left( B\right)$ .
又某个网格与 $\bar{A}$ 的交不为空集,它必与 $\bar{B}$ 的交不为空集,所以 ${V}_{n}^{ + }\left( A\right) \leq {V}_{n}^{ + }\left( B\right)$ . 令 $\displaystyle{n \rightarrow \infty}$ ,即得
$$ {V}^{ + }\left( A\right) \leq {V}^{ + }\left( B\right) . $$
(2)由 $V\left( B\right) = 0$ ,意味着 ${V}^{ + }\left( B\right) = 0$ ,根据(1)得 ${V}^{ + }\left( A\right) = 0$ . 而直接由内容积与外容积定义可知
$$ 0 \leq {V}^{ - }\left( A\right) \leq {V}^{ + }\left( A\right) = 0, $$
所以 $V\left( A\right) = 0$ .