📝 题目
例 2 设 $\Omega$ 是 ${\mathbf{R}}^{m}$ 中的闭可测图形, $f$ 是 $\Omega$ 上的非负有界函数. 令
$$ D = \left\{ {\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{m},y}\right) \mid \left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{m}}\right) \in \Omega ,}\right. $$
$$ \left. {0 \leq y \leq f\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{m}}\right) }\right\} \subset {R}^{m + 1}. $$
💡 答案与解析
证明: (1)对 $\Omega$ 的任一剖分 $\Delta ,D$ 的 $m + 1$ 维内容积与外容积满足
$$ {S}^{ - }\left( {f,\Delta }\right) \leq {V}^{ - }\left( D\right) \leq {V}^{ + }\left( D\right) \leq {S}^{ + }\left( {f,\Delta }\right) ; $$
(2)若 $f \in R\left( \Omega \right)$ ,则
$$ V\left( D\right) = {V}^{\left( m + 1\right) }\left( D\right) = {\int }_{\Omega }f\mathrm{\;d}V. $$
证 (1) 作 $\Omega$ 的剖分 $\Delta = \left\{ {{\Omega }_{1},\cdots ,{\Omega }_{n}}\right\}$ ,相应的大和与小和分别为
$$ {S}^{ + }\left( {f,\Delta }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{M}_{i}V\left( {\Omega }_{i}\right) ,\;{S}^{ - }\left( {f,\Delta }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{m}_{i}V\left( {\Omega }_{i}\right) . $$
在 $\Omega$ 上定义两个阶梯函数:
$$ \bar{\varphi }\left( \mathbf{x}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {M}_{i}, & \mathbf{x} \in {\Omega }^{ \circ },i = 1,\cdots ,n, \\ M, & \Omega \text{ 上其他点, } \end{array}\right. $$
$$ \varphi \left( \mathbf{x}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {m}_{i}, & \mathbf{x} \in {\Omega }_{i}^{ \circ },i = 1,\cdots ,n, \\ 0, & \mathbf{\Omega }\text{ 上其他点, } \end{array}\right. $$
其中 $M$ 为 $f$ 的上界. 令
$$ {D}^{ + } = \{ \left( {\mathbf{x},y}\right) \left| {\mathbf{x} \in \Omega ,0 \leq y \leq \bar{\varphi }\left( \mathbf{x}\right) }\right| \} , $$
$$ {D}^{ - } = \{ \left( {\mathbf{x},y}\right) \left| {\mathbf{x} \in \Omega ,0 \leq y \leq \varphi \left( \mathbf{x}\right) }\right| \} , $$
则 ${D}^{ - } \subset D \subset {D}^{ + }$ ,容易看出集合 ${D}^{ - }$ 与 ${D}^{ + }$ 的 $m + 1$ 维容积存在,且分别等于小和 ${S}^{ - }\left( {f,\Delta }\right)$ 和大和 ${S}^{ + }\left( {f,\Delta }\right)$ . 这样由上题得到
$$ {S}^{ - }\left( {f,\Delta }\right) = {V}^{ - }\left( {D}^{ - }\right) \leq {V}^{ - }\left( D\right) \leq {V}^{ + }\left( D\right) \leq {V}^{ + }\left( {D}^{ + }\right) $$
$$ = {S}^{ + }\left( {f,\Delta }\right) \text{ . } $$
(2)上式令 $\parallel \Delta \parallel \rightarrow 0$ ,即得
$$ {\int }_{\Omega }f\mathrm{\;d}V \leq {V}^{ - }\left( D\right) \leq {V}^{ + }\left( D\right) \leq {\int }_{\Omega }f\mathrm{\;d}V. $$
由此推出 $D$ 的 $m + 1$ 维容积存在,且 ${V}^{\left( m + 1\right) }\left( D\right) = {\int }_{\Omega }f\mathrm{\;d}V$ .
评注 这题是由函数 $f$ 的可积性得出集合 $D$ 是可测图形. 反之,我们也可以通过 $D$ 是可测图形来定义函数 $f$ 的可积性,用集合 $D$ 的 $m + 1$ 维容积来定义 $f$ 在 $\Omega$ 上的积分. 若 $f$ 是 $\Omega$ 上的任一有界函数,只需考虑函数
$$ {f}^{ + } = \frac{\left| f\right| + f}{2}\text{ 与 }{f}^{ - } = \frac{\left| f\right| - f}{2}. $$
如果两个非负函数 ${f}^{ + }$ 与 ${f}^{ - }$ 按刚才的定义是可积的,则定义 $f$ 是可积的,并定义 $f$ 的积分是 ${f}^{ + }$ 的积分减去 ${f}^{ - }$ 的积分.