📝 题目
例 3 设 $\Omega$ 是 ${\mathbf{R}}^{m}$ 中的闭可测图形, $y = f\left( x\right) \in C\left( \Omega \right)$ ,则点集
$$ S = \{ \left( {\mathbf{x},f\left( \mathbf{x}\right) }\right) \mid \mathbf{x} \in \Omega \} $$
的 $m + 1$ 维容积为零.
💡 答案与解析
证 因集合平移不改变它的容积, 及有界闭集上的连续函数必有界,故无妨设 $f\left( \mathbf{x}\right) \geq 0$ . 再由闭可测图形上的连续函数一定可积和