📝 题目
例 7 计算重积分
$$ I = {\iint }_{D}\sqrt{1 - {y}^{2}}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y $$
其中 $D$ 为 ${x}^{2} + {y}^{2} = 1$ 与 $y = \left| x\right|$ 所围成区域.
💡 答案与解析
解 先画出区域 $D$ 的图形 (见图 6.1),由于被积函数和积分区域关于 $y$ 轴对称,所以只需考虑 $D$ 在第一象限部分. 引直线 $y =$ $1/\sqrt{2}$ 把该部分分成两个区域. 结合图形可写出两个部分区域上的积分限.
$$ I = 2{\int }_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{\;d}y{\int }_{0}^{y}\sqrt{1 - {y}^{2}}\mathrm{\;d}x + 2{\int }_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1}\mathrm{\;d}y{\int }_{0}^{\sqrt{1 - {y}^{2}}}\sqrt{1 - {y}^{2}}\mathrm{\;d}x $$
$$ = 2{\int }_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}y\sqrt{1 - {y}^{2}}\mathrm{\;d}y + 2{\int }_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1}\left( {1 - {y}^{2}}\right) \mathrm{d}y $$
$$ = - {\left. \frac{2}{3}{\left( 1 - {y}^{2}\right) }^{3/2}\right| }_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} + {\left. 2\left( y - \frac{{y}^{3}}{3}\right) \right| }_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} $$
$$ = - \frac{2}{3}\left( {\frac{1}{2\sqrt{2}} - 1}\right) + 2\left( {\frac{2}{3} - \frac{5}{6\sqrt{2}}}\right) $$
$$ = 2 - \sqrt{2}\text{ . } $$
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/040.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 6.1
评注 (1) 先对 $x$ 积分时,积分限可以是 $y$ 的函数,它表明先沿变线段上积分；再对 $y$ 积分时,积分限一定是常数,它表明变线段扫过的范围, 正好就是求积的区域.
(2)若被积函数只含 $y$ ,则先对 $x$ 求积分要简单些. 若先对 $y$ 积分, 虽然只有一个积分式
$$ I = {\int }_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{\;d}x{\int }_{x}^{\sqrt{1 - {x}^{2}}}\sqrt{1 - {y}^{2}}\mathrm{\;d}y $$
但积分需要费点功夫.