📝 题目
例 8 计算积分 $\displaystyle{I = {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}y{\int }_{y}^{1}\frac{y}{\sqrt{1 + {x}^{3}}}\mathrm{\;d}x}$ .
💡 答案与解析
解 内层积分积不出来, 不妨换一求积次序. 为此由所给积分限画出积分区域 $D$ 的图形 (见图 6.2). 于是
$$ I = {\iint }_{D}\frac{y}{\sqrt{1 + {x}^{3}}}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y = {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}x{\int }_{0}^{x}\frac{y}{\sqrt{1 + {x}^{3}}}\mathrm{\;d}y $$
$$ = \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1}\frac{{x}^{2}}{\sqrt{1 + {x}^{3}}}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{3}\left( {\sqrt{2} - 1}\right) . $$
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/041.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 6.2
评注 这题表明求积次序不仅影响求积难易程度, 也关系到积分能不能积出来.