📝 题目
例 9 计算积分 $\displaystyle{I = {\int }_{0}^{1}\frac{x - 1}{\ln x}\mathrm{\;d}x}$ .
💡 答案与解析
解 这是一个求定积分的问题, 但原函数求不出来. 注意到
$$ \frac{x - 1}{\ln x} = {\int }_{0}^{1}{x}^{y}\mathrm{\;d}y. $$
令 $f\left( {x,y}\right) = {x}^{y}$ ,由 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {0}^{ + }}}{x}^{y} = 0\left( {y > 0}\right) ,\mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow {0}^{ + }}}{x}^{y} = 1\left( {x > 0}\right)$ . 说明函数 $f$ 在正 $y$ 轴上取值为零,在正 $x$ 轴上取值为 1,所在它只在(0,0)点不连续,而在正方形 $D = \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上 ${x}^{y} \leq 1$ ,故 $f$ 在正方形上可积, 符合重积分化累次积分条件. 我们有
$$ I = {\int }_{0}^{1}\frac{x - 1}{\ln x}\mathrm{\;d}x = {\iint }_{D}{x}^{y}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y $$
$$ = {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}y{\int }_{0}^{1}{x}^{y}\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}y}{1 + y} = \ln 2. $$