📝 题目
例 11 计算重积分 $I = {\iiint }_{\Omega }\left( {x + y + z}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z$ ,其中 $\Omega$ 是由曲面 ${2z} = {x}^{2} + {y}^{2}$ 与 ${x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = 3$ 所围成的区域.
💡 答案与解析
解 先画出区域 $\Omega$ 的图形; 并求出两曲面的交线为 $z = 1$ 平面上的圆 ${x}^{2} + {y}^{2} = 2$ (见图 6.3). 由对称性知
$$ {\iint }_{\Omega }x\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z = {\iint }_{\Omega }y\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z = 0. $$
$$ I = {\iiint }_{\Omega }z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z $$
$$ = {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}z{\iint }_{D\left( z\right) }z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y + {\int }_{1}^{\sqrt{3}}\mathrm{\;d}z{\iint }_{D\left( z\right) }z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y $$
$$ = 2 \cdot {\int }_{0}^{1}\pi {z}^{2}\mathrm{\;d}z + {\int }_{1}^{\sqrt{3}}{\pi z}\left( {3 - {z}^{2}}\right) \mathrm{d}z $$
$$ = \frac{5}{3}\pi \text{ . } $$
评注 当被积函数只含 $z$ 时,先对 $x,y$ 积分较简单. 若先对 $z$ 积分, 就要计算积分
$$ I = {\iint }_{{x}^{2} + {y}^{2} \leq 2}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y{\int }_{\frac{{x}^{2} + {y}^{2}}{2}}^{\sqrt{3 - {x}^{2} - {y}^{2}}}z\mathrm{\;d}z. $$
一般来说, 若被积函数只含一个变量时, 可先对另外两个变量求重积分, 然后求定积分; 若被积函数只含两个变量时, 可先对第三个变量求定积分, 然后再求重积分.
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/042.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 6.3
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/043.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 6.4