📝 题目
例 12 求曲面 $z = {xy},z = 0,x + y = 1$ 所围立体的体积.
💡 答案与解析
解 由图 6.4 看出,所围立体在 ${xy}$ 平面上的投影区域 $D$ 为 $x \geq 0,y \geq 0,x + y \leq 1$ . 所以
$$ V = {\iint }_{D}{xy}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y = {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}x{\int }_{0}^{1 - x}{xy}\mathrm{\;d}y $$
$$ = \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1}x{\left( 1 - x\right) }^{2}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{24}. $$