📝 题目
例 3 计算重积分 $\displaystyle{I = {\iiint }_{\Omega }\sqrt{{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z}$ ,其中 $\Omega$ 是集合 ${x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} \leq z$ 与 ${x}^{2} + {y}^{2} \leq {z}^{2}$ 的公共部分.
💡 答案与解析
解 作球坐标变换: $x = r\sin \varphi \cos \theta ,y = r\sin \varphi \sin \theta ,z = r\cos \varphi$ . 方程 ${x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = z$ 与 ${x}^{2} + {y}^{2} = {z}^{2}$ 变为 $r = \cos \varphi$ 与 $\varphi = \pi /4$ . 固定 $\theta$ ,半平面 $\theta = \theta$ 与 $\Omega$ 的交集为 $D\left( \theta \right)$ ,如图 6.6 所示. 所以
$$ I = {\int }_{0}^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{0}^{\frac{\pi }{4}}\mathrm{\;d}\varphi {\int }_{0}^{\cos \varphi } \cdot {r}^{2}\sin \varphi \mathrm{d}r $$
$$ = \frac{\pi }{2}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\cos }^{4}\varphi \sin \varphi \mathrm{d}\varphi = \frac{\pi }{10}\left( {1 - \frac{1}{4\sqrt{2}}}\right) . $$
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/045.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 6.6
评注 先画出半平面与 $\Omega$ 的交集 $D\left( \theta \right)$ , 利用平面极坐标定限法写出 $r$ 与 $\varphi$ 的积分限, $r$ 的积分限可以依赖 $\varphi$ 与 $\theta ,\varphi$ 的积分限可以依赖 $\theta$ ,然后确定 $\theta$ 的范围,表明变区域 $D\left( \theta \right)$ 转过的角度,使它正好得到求积区域 $\Omega$ .
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/046.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 6.7
这题若用柱坐标变换, 由图 6.7 可写出积分限为
$$ I = {\int }_{0}^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{0}^{\frac{1}{2}}\mathrm{\;d}r{\int }_{r}^{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4} - r}}\sqrt{{r}^{2} + {z}^{2}}r\mathrm{\;d}z $$
$$ = {\int }_{0}^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{\frac{1}{2}}^{1}\mathrm{\;d}z{\int }_{0}^{\sqrt{z - {z}^{2}}}\sqrt{{r}^{2} + {z}^{2}}r\mathrm{\;d}r $$
$$ + {\int }_{0}^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{0}^{\frac{1}{2}}\mathrm{\;d}z{\int }_{0}^{z}\sqrt{{r}^{2} + {z}^{2}}r\mathrm{\;d}r. $$