📝 题目
例 3 计算第二型曲线积分
$$ I = {\int }_{\overset{⏜}{AB}}y\mathrm{\;d}x - x\mathrm{\;d}y, $$
其中 $A\left( {1,1}\right) ,B\left( {2,4}\right)$ 分为两种情况:
(1) $\overset{⏜}{AB}$ 为联结 $A,B$ 的直线段；(2) $\overset{⏜}{AB}$ 为抛物线 $y = {x}^{2}$ .
💡 答案与解析
解 (1) $\overset{⏜}{AB}$ 直线段的方程为 $y = {3x} - 2$ ,所以
$$ I = {\int }_{1}^{2}\left\lbrack {\left( {{3x} - 2}\right) - {3x}}\right\rbrack \mathrm{d}x = - 2. $$
(2) $I = {\int }_{1}^{2}\left( {{x}^{2} - x \cdot {2x}}\right) \mathrm{d}x = - {\int }_{1}^{2}{x}^{2}\mathrm{\;d}x = - \frac{7}{3}$ .