📝 题目
例 7 计算第二型曲线积分
$$ I = {\int }_{\overset{⏜}{AO}}\left( {{\mathrm{e}}^{x}\sin y - {y}^{2}}\right) \mathrm{d}x + {\mathrm{e}}^{x}\cos y\mathrm{\;d}y, $$
其中 $\overset{⏜}{AO}$ 为自 $A\left( {a,0}\right)$ 至 $O\left( {0,0}\right)$ 的上半圆周 ${x}^{2} + {y}^{2} = {ax}$ .
💡 答案与解析
解 用位于 $x$ 轴上的线段 $\overline{OA}$ 与上半圆周 $\overset{⏜}{AO}$ 形成一闭路,记所围区域为 $D$ ,则
$$ {\int }_{\overset{⏜}{AO}}\left( {{\mathrm{e}}^{x}\sin y - {y}^{2}}\right) \mathrm{d}\dot{x} + {\mathrm{e}}^{x}\cos y\mathrm{\;d}y + {\int }_{\overline{OA}}\left( {{\mathrm{e}}^{x}\sin y - {y}^{2}}\right) \mathrm{d}x + {\mathrm{e}}^{x}\cos y\mathrm{\;d}y $$
$$ = {\iint }_{D}\left( {{\mathrm{e}}^{x}\cos y - {\mathrm{e}}^{x}\cos y + {2y}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y = 2{\iint }_{D}y\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y, $$
所以
$$ I = 2{\iint }_{D}y\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y - {\int }_{\overline{OA}}\left( {{\mathrm{e}}^{x}\sin y - {y}^{2}}\right) \mathrm{d}x + {\mathrm{e}}^{x}\cos y\mathrm{\;d}y $$
$$ = {\int }_{0}^{a}\mathrm{\;d}x{\int }_{0}^{\sqrt{{ax} - {x}^{2}}}{2y}\mathrm{\;d}y = {\int }_{0}^{a}\left( {{ax} - {x}^{2}}\right) \mathrm{d}x = \frac{{a}^{3}}{6}. $$