📝 题目
例 9 在例 8 的条件下,证明 $u\left( {x,y}\right)$ 在 $D$ 上是调和函数的充要条件为: $\forall {P}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \in D$ ,
$$ u\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }u\left( {{x}_{0} + r\cos \theta ,{y}_{0} + r\sin \theta }\right) \mathrm{d}\theta , $$
$$ 0 < r < d = \rho \left( {{P}_{0},\partial D}\right) . $$
💡 答案与解析
证 取 $L : {\left( x - {x}_{0}\right) }^{2} + {\left( y - {y}_{0}\right) }^{2} = {r}^{2}$ ,这时 $L$ 的外法线方向即为半径 $r$ 的方向,由