📝 题目
例 5 的结论,考虑引进一个变换 ${x}_{n}$ ,使得
$$ 1 + \frac{{x}_{n}}{n} = \frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}}{2}. $$
💡 答案与解析
解 令 ${x}_{n} = n\left\lbrack {\frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}}{2} - 1}\right\rbrack$ ,则有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{n}{2}\left\lbrack {\sqrt[n]{a} - 1 + \sqrt[n]{b} - 1}\right\rbrack \overset{\text{ 用