📝 题目
例 8 设 $\displaystyle{0 < {x}_{n} < + \infty}$ ,且满足 ${x}_{n + 1} + \frac{1}{{x}_{n}} < 2$ . 求证: $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 的极限存在, 并求出极限值.
💡 答案与解析
证 由 ${x}_{n} > 0$ ,即 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 有下界. 又由
$$ 2\sqrt{\frac{{x}_{n + 1}}{{x}_{n}}} \leq {x}_{n + 1} + \frac{1}{{x}_{n}} < 2 \Rightarrow \frac{{x}_{n + 1}}{{x}_{n}} < 1 \Rightarrow \left\{ {x}_{n}\right\} \downarrow , $$
故 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = a}$ 存在. 若 $a = 0$ ,则 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{{x}_{n}} = + \infty}$ . 由广义极限的四则运算法则, 有
$$ {x}_{n + 1} + \frac{1}{{x}_{n}} < 2\overset{n \rightarrow \infty }{ \Rightarrow } + \infty \leq 2\text{ (矛盾). } $$
由此可见, $a > 0$ . 进一步由极限的四则运算法则,有
$$ {x}_{n + 1} + \frac{1}{{x}_{n}} < 2\overset{n \rightarrow \infty }{ \Rightarrow }a + \frac{1}{a} \leq 2 \Rightarrow 2\sqrt{\frac{a}{a}} \leq a + \frac{1}{a} \leq 2 $$
$$ \Rightarrow a + \frac{1}{a} = 2, $$
即得 $a = 1$ ,即 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = 1}$ .