📝 题目
例 26 设 $D$ 为 ${\mathbf{R}}^{n}$ 中的有界闭集,映射 $f : D \rightarrow D$ 满足: $\forall x,y \in$ $D,\mathbf{x} \neq \mathbf{y}$ ,有 $\left| {\mathbf{f}\left( \mathbf{x}\right) - \mathbf{f}\left( \mathbf{y}\right) }\right| < \left| {\mathbf{x} - \mathbf{y}}\right|$ . 证明: 映射 $\mathbf{f}$ 有惟一的不动点 ${\mathbf{x}}^{ * } \in D$ ,即有惟一点 ${\mathbf{x}}^{ * } \in D$ ,使 $\mathbf{f}\left( {\mathbf{x}}^{ * }\right) = {\mathbf{x}}^{ * }$ .
💡 答案与解析
证 $\forall {x}_{1} \in D$ ,令 ${x}_{n + 1} = f\left( {x}_{n}\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right)$ . 显然 ${x}_{n} \in D(n = 1$ , $2,\cdots )$ . 由条件
$$ \left| {{x}_{n + 2} - {x}_{n + 1}}\right| = \left| {f\left( {x}_{n + 1}\right) - f\left( {x}_{n}\right) }\right| < \left| {{x}_{n + 1} - {x}_{n}}\right| \;\left( {n = 1,2,\cdots }\right) , $$
故有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left| {{x}_{n + 1} - {x}_{n}}\right| = a \geq 0. \tag{7.45} $$
因 $D$ 为有界闭集,由波尔察诺定理, $\exists$ 子序列 $\left\{ {\mathbf{x}}_{{n}_{k}}\right\}$ ,使
$$ \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{x}_{{n}_{k}} = {x}^{ * } \in D $$
再由条件知 $\mathbf{f}$ 在 $D$ 上连续,所以
$$ \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{x}_{{n}_{k} + 1} = \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}f\left( {x}_{{n}_{k}}\right) = f\left( {x}^{ * }\right) \overset{\text{ 记为 }}{ = }\widetilde{x}, \tag{7.46} $$
$$ \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{x}_{{n}_{k} + 2} = \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}f\left( {x}_{{n}_{k} + 1}\right) = f\left( \widetilde{x}\right) . \tag{7.47} $$
要证不动点存在,只要证 ${\mathbf{x}}^{ * } = \widetilde{\mathbf{x}}$ . 为此,对下式
$$ \left| {{x}_{{n}_{k} + 2} - {x}_{{n}_{k} + 1}}\right| = \left| {f\left( {x}_{{n}_{k} + 1}\right) - f\left( {x}_{{n}_{k}}\right) }\right| < \left| {{x}_{{n}_{k} + 1} - {x}_{{n}_{k}}}\right| $$
取极限 $\left( {k \rightarrow + \infty }\right)$ ,由 (7.46),(7.47)式,得到
$$ \left| {f\left( \widetilde{x}\right) - f\left( {x}^{ * }\right) }\right| \leq \left| {\widetilde{x} - {x}^{ * }}\right| . $$
再由 (7.45) 式知上式等号成立,即 $\left| {f\left( \widetilde{x}\right) - f\left( {x}^{ * }\right) }\right| = \left| {\widetilde{x} - {x}^{ * }}\right|$ . 根据题设必有 $\widetilde{x} = {x}^{ * }$ ,即 $f\left( {x}^{ * }\right) = {x}^{ * }$ . 不动点惟一性由条件即可看出.