📝 题目
例 29 设 $\Omega$ 为空间第一卦限区域,函数 $f\left( {x,y,z}\right)$ 在 $\Omega$ 上有连续一阶偏导数. $S$ 为 $\mathbf{\Omega }$ 中任一光滑闭曲面,试给出第二型曲面积分
$$ {\iint }_{S}f\left( {x,y,z}\right) \left( {x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y}\right) = 0 $$
的充要条件, 并证明之.
💡 答案与解析
证 应用奥氏公式, 有
$$ {\iint }_{S}f\left( {x,y,z}\right) \left( {x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y}\right) $$
$$ = {\iiint }_{V}\left( {{3f} + x\frac{\partial f}{\partial x} + y\frac{\partial f}{\partial y} + z\frac{\partial f}{\partial z}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z, $$
其中 $V$ 表示 $S$ 所围区域. 若函数 $f$ 是一个 -3 次齐次函数,且上式右端被积函数为零,故对任一光滑闭曲面 $S$ ,曲面积分为零.
反之,若对任一光滑闭曲面 $S$ 曲面积分为零,容易证明在 $\Omega$ 上有
$$ x\frac{\partial f}{\partial x} + y\frac{\partial f}{\partial y} + z\frac{\partial f}{\partial z} + {3f} \equiv 0. \tag{7.51} $$
令 $\xi = x,\eta = y/x,\zeta = z/x$ ,或 $x = \xi ,y = {\xi \eta },z = {\xi \zeta }$ ,在这个变换下有
$$ \frac{\partial f}{\partial \xi } = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot 1 + \frac{\partial f}{\partial y}\eta + \frac{\partial f}{\partial z}\zeta , $$
因此 $\xi \frac{\partial f}{\partial \xi } = \frac{\partial f}{\partial x}\xi + \frac{\partial f}{\partial y}{\xi \eta } + \frac{\partial f}{\partial z}{\xi \zeta } = x\frac{\partial f}{\partial x} + y\frac{\partial f}{\partial y} + z\frac{\partial f}{\partial z}$ ,所以方程 (7.51) 式变为 $\xi \frac{\partial f}{\partial \xi } + {3f} = 0$ ,或 ${\xi }^{3}\frac{\partial f}{\partial \xi } + 3{\xi }^{2}f = 0$ . 解方程时注意
$$ {\xi }^{3}\frac{\partial f}{\partial \xi } + 3{\xi }^{2}f = {\left( {\xi }^{3}f\right) }_{\xi }^{\prime } = 0. $$
所以 $f\left( {\xi ,\eta ,\zeta }\right) = \frac{1}{{\xi }^{3}}g\left( {\eta ,\zeta }\right)$ ,其中函数 $g$ 为任一可微函数,这样回到原变量, 得出
$$ f\left( {x,y,z}\right) = \frac{1}{{x}^{3}}g\left( {\frac{y}{x},\frac{z}{x}}\right) . $$
由此即可看出 $f$ 是一个 -3 次齐次函数.