📝 题目
例 33 设有一座小山,取它的底面所在的平面为 ${Oxy}$ 坐标平面, 其底部所占的区域为
$$ D = \left\{ {\left( {x,y}\right) \mid {x}^{2} + {y}^{2} - {xy} \leq {75}}\right\} . $$
小山的高度函数为 $h\left( {x,y}\right) = {75} - {x}^{2} - {y}^{2} + {xy}$ .
(1)设 $M\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 为区域 $D$ 上一点,问 $h\left( {x,y}\right)$ 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数的最大值为 $g\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ , 试写出 $g\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 的表达式.
(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点. 也就是说,要在 $D$ 的边界线 ${x}^{2} +$ ${y}^{2} - {xy} = {75}$ 上找出使 (1) 中的 $g\left( {x,y}\right)$ 达到最大值的点. 试确定攀登起点的位置.
💡 答案与解析
解法 1 (1) 高度函数 $h\left( {x,y}\right)$ 在点 $M\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 处的梯度是
$$ {\left. \operatorname{grad}h\left( x,y\right) \right| }_{\left( {x}_{0},{y}_{0}\right) } = \left( {{y}_{0} - 2{x}_{0}}\right) \mathbf{i} + \left( {{x}_{0} - 2{y}_{0}}\right) \mathbf{j}. $$
由梯度的几何意义知,沿此梯度方向,高度函数 $h\left( {x,y}\right)$ 的方向导数取最大值, 并且这个最大值就是此梯度的模. 于是
$$ g\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = \sqrt{{\left( {y}_{0} - 2{x}_{0}\right) }^{2} + {\left( {x}_{0} - 2{y}_{0}\right) }^{2}} $$
$$ = \sqrt{5{x}_{0}^{2} + 5{y}_{0}^{2} - 8{x}_{0}{y}_{0}}. $$
(2)令 $f\left( {x,y}\right) = {g}^{2}\left( {x,y}\right) = 5{x}^{2} + 5{y}^{2} - {8xy}$ ,依题意,只需求二元函数 $f\left( {x,y}\right)$ 在约束条件 ${x}^{2} + {y}^{2} - {xy} = {75}$ 下的最大值点.
令 $L\left( {x,y,\lambda }\right) = 5{x}^{2} + 5{y}^{2} - {8xy} + \lambda \left( {{x}^{2} + {y}^{2} - {xy} - {75}}\right)$ ,则
$$ {L}_{x}^{\prime } = {10x} - {8y} + \lambda \left( {{2x} - y}\right) \overset{\text{ 令 }}{ = }0, \tag{7.59} $$
$$ {L}_{y}^{\prime } = {10y} - {8x} + \lambda \left( {{2y} - x}\right) \overset{\text{ 令 }}{ = }0, \tag{7.60} $$
$$ {L}_{\lambda }^{\prime } = {x}^{2} + {y}^{2} - {xy} - {75}\overset{\text{ 令 }}{ = }0, \tag{7.61} $$
把 (7.59) 与 (7.60) 式相加,得
$$ {10}\left( {x + y}\right) - 8\left( {x + y}\right) + \lambda \left( {x + y}\right) = 0 $$
$$ \Rightarrow \left( {x + y}\right) \left( {\lambda + 2}\right) = 0, $$
由此得
$$ x + y = 0,\;\lambda = - 2. $$
当 $y = - x$ 时,则由 (7.61) 式得到 $x = \pm 5,y = \mp 5$ .
当 $\lambda = - 2$ 时,则由 (7.59) 式得到 $y = x$ ,再由 (7.61) 式得到
$$ x = \pm 5\sqrt{3},\;y = \pm 5\sqrt{3}. $$
于是得到 4 个可能的极值点
$$ {M}_{1}\left( {5, - 5}\right) ,\;{M}_{2}\left( {-5,5}\right) ,\;{M}_{3}\left( {5\sqrt{3},5\sqrt{3}}\right) , $$
$$ {M}_{4}\left( {-5\sqrt{3}, - 5\sqrt{3}}\right) \text{ . } $$
又 $f\left( {M}_{1}\right) = f\left( {M}_{2}\right) = {450},f\left( {M}_{3}\right) = f\left( {M}_{4}\right) = {150}$ ,
故 ${M}_{1},{M}_{2}$ 可作为攀登起点.
解法 2 把山看做曲面, 山在某一处坡度的大小就是曲面在该处的切平面与水平面的夹角的大小,也就是切平面的法线与 $z$ 轴的夹角 (锐角的那个) 的大小. 山曲面 $z = h\left( {x,y}\right)$ 在点 $M\left( {x,y}\right)$ 处的切平面法向量是 $\left\{ {{h}_{x}^{\prime },{h}_{y}^{\prime }, - 1}\right\}$ ,设它与 $z$ 轴的夹角 (锐角的那个) 为 $\theta$ ,那么
$$ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + {\left( {h}_{x}^{\prime }\right) }^{2} + {\left( {h}_{y}^{\prime }\right) }^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{{\left( y - 2x\right) }^{2} + {\left( x - 2y\right) }^{2}}} $$
$$ = \frac{1}{\sqrt{5{x}^{2} + 5{y}^{2} - {8xy}}}. $$
由此可见,为了要在 $D$ 的边界线 ${x}^{2} + {y}^{2} - {xy} = {75}$ 上找出使 $\theta$ 最大, 只要使 $\cos \theta$ 最小,也只要二元函数 $5{x}^{2} + 5{y}^{2} - {8xy}$ 在条件 ${x}^{2} + {y}^{2} -$ ${xy} = {75}$ 下找最大值. 以下同解法 1.