方企勤 第二章 一元函数微分学 第8题
📝 题目
例 8 设 $0 < x < \frac{\pi }{2}$ ,求证: $\frac{x}{\sin x} < \frac{\tan x}{x}$ .
💡 答案解析
证 先证原不等式两边取对数得到的不等式, 即证
$$
\ln x - \ln \sin x < \ln \tan x - \ln x
$$
或
$$
\ln \sin x + \ln \tan x - 2\ln x > 0\;\left( {0 < x < \pi /2}\right) . \tag{6. 12}
$$
为此令 $f\left( x\right) = \ln \sin x + \ln \tan x - 2\ln x$ ,则有
$$
{f}^{\prime }\left( x\right) = 2\cot x + \tan x - \frac{2}{x} = \frac{x{\cos }^{2}x - 2\sin x\cos x + x}{x\sin x\cos x}.
$$
(6.13)
注意到在 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 中,分母符号可确定是正的,只要考虑分子的符号. 令
$$
g\left( x\right) = x{\cos }^{2}x - 2\sin x\cos x + x,
$$
则有
$$
{g}^{\prime }\left( x\right) = 3{\sin }^{2}x - {2x}\sin x\cos x
$$
$$
= \sin x\cos x\left( {3\tan x - {2x}}\right) > 0
$$
$$
\Rightarrow g\left( x\right) > g\left( 0\right) = 0\text{ . }
$$
再由 (6.13) 式, 即得
$$
{f}^{\prime }\left( x\right) > 0 \Rightarrow f\left( x\right) \uparrow \Rightarrow f\left( x\right) > 0.
$$
事实上, $\forall x > 0$ ,取 $0 < \varepsilon < x$ ,有
$$
f\left( x\right) > f\left( \varepsilon \right) > f\left( \frac{\varepsilon }{n}\right) \overset{n \rightarrow \infty }{ \Rightarrow }f\left( x\right) > f\left( \varepsilon \right) \geq f\left( {0 + 0}\right) = 0.
$$
再利用函数 ${\mathrm{e}}^{t}$ 的严格递增性,由不等式 (6.12) 推出
$$
\frac{x}{\sin x} < \frac{\tan x}{x}\;\left( {0 < x < \frac{\pi }{2}}\right) .
$$