📝 题目
例 13 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {a, + \infty }\right)$ 上单调上升, $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = + \infty}$ . 又设
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( {x}_{n}\right) = A $$
求证: $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = A$ .
💡 答案与解析
证 因为 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {a, + \infty }\right)$ 上单调上升,所以由广义极限存在性知,极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right)$ 存在. 再由序列极限与函数极限的关系,知
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( {x}_{n}\right) \overset{\text{ 题设条件 }}{ = }A\text{ . } $$