📝 题目
例 16 求证:
(1) 若 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} = 0}$ ,则 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}{n} = 0}$ ;
(2) 若 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{b}_{n} = b}$ ,则 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{b}_{1} + {b}_{2} + \cdots + {b}_{n}}{n} = b}$ .
💡 答案与解析
证 (1) 因为 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} = 0}$ ,所以对任给定 $\varepsilon > 0$ ,存在 $m$ ,当 $n > m$ 时,便有 $\left| {a}_{n}\right| < \frac{\varepsilon }{2}$ . 于是,对 $\forall n > m$ ,有
$$ \left| \frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}{n}\right| = \frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{m} + {a}_{m + 1} + \cdots + {a}_{n}}{n} $$
$$ \leq \frac{\left| {a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{m}\right| }{n} + \frac{1}{n}\left( {\left| {a}_{m + 1}\right| + \cdots + \left| {a}_{n}\right| }\right) $$
$$ \leq \frac{\left| {a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{m}\right| }{n} + \frac{n - m}{n} \cdot \frac{\varepsilon }{2} $$
$$ < \frac{\left| {a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{m}\right| }{n} + \frac{\varepsilon }{2}. \tag{4.4} $$
注意到,当 $m$ 取定时, $\left| {{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{m}}\right|$ 便是一个有限数,再取 $N >$ $m$ ,使得当 $n > N$ 时,有
$$ \left| \frac{{a}_{1} + {a}^{2} + \cdots + {a}_{m}}{n}\right| < \frac{\varepsilon }{2}, $$
这样,当 $n > N$ 时,有 $\left| \frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}{n}\right| < \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon$ . 从而 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} = 0}$ .
评注 本题从 “ $\varepsilon$ ” 找 “ $N$ ” 不是 “一步到位”,而是 “两步成功”: $\varepsilon \rightarrow m \rightarrow N$ . 当找到 $m$ 时,只是完成一个对极限式 $\left| \frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}{n}\right|$ 的 “适当放大”,如 (4.4) 所示. 这个 “适当放大” 是在 $n > m$ 限制下成立的. 然后把这个 $m$ 固定住,再找 “ $N > m$ ”,使得当 $n > N$ 时,
$$ \left| \frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}{n}\right| < \varepsilon . $$
(2)因为
$$ {b}_{n} - b = \frac{\left( {{b}_{1} - b}\right) + \left( {{b}_{2} - b}\right) + \cdots + \left( {{b}_{n} - b}\right) }{n}, $$
对 ${a}_{n} = {b}_{n} - b$ 应用第 (1) 小题结论,即得 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{b}_{n} = b}$ .