📝 题目
例 2 (1) 问 $f\left( x\right) = x - \left\lbrack x\right\rbrack$ 是否是周期函数? 并画出它的图形 (其中 $\left\lbrack x\right\rbrack$ 表示 $x$ 的整数部分).
(2)两个周期函数之和是否一定是周期函数?
💡 答案与解析
解 (1) 因为 $\left\lbrack x\right\rbrack \leq x < \left\lbrack x\right\rbrack + 1$ ,所以
$$ \left\lbrack x\right\rbrack + 1 \leq x + 1 < \left\lbrack x\right\rbrack + 1 + 1. $$
按 $\left\lbrack x\right\rbrack$ 的定义,即得 $\left\lbrack {x + 1}\right\rbrack = \left\lbrack x\right\rbrack + 1$ . 从而
$$ f\left( {x + 1}\right) = x + 1 - \left\lbrack {x + 1}\right\rbrack = x - \left\lbrack x\right\rbrack = f\left( x\right) , $$
即 $f\left( x\right)$ 是以 1 为周期的周期函数. 如图 1.1 所示.
\begin{center} \includegraphics[max width=0.3\textwidth]{images/001.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 1.1
(2)答案是:不一定. 例如,函数 $x - \left\lbrack x\right\rbrack + \sin x$ 就不是周期函数.