📝 题目
例 22 设 ${a}_{1} > 0,{a}_{n + 1} = {a}_{n} + \frac{1}{{a}_{n}}$ ,求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}_{n}}{\sqrt{2n}} = 1}$ .
💡 答案与解析
证 首先可看出 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 是严格单调增加的,又不可能有上界,否则存在有限数 $a$ ,使得 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} = a}$ ,因此
$$ {a}_{n + 1} = {a}_{n} + \frac{1}{{a}_{n}} \Rightarrow a = a + \frac{1}{a} \Rightarrow a = \infty . $$
这与 $a$ 为有限数矛盾. 于是,从 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 是严格单调增加的,又无上界,即知 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} = + \infty}$ . 令 ${b}_{n}\overset{\text{ 定义 }}{ = }{a}_{n}^{2}$ ,再注意到
$$ {b}_{n + 1} - {b}_{n} = {a}_{n + 1}^{2} - {a}_{n}^{2} = \left( {{a}_{n + 1} - {a}_{n}}\right) \left( {{a}_{n + 1} + {a}_{n}}\right) $$
$$ = \frac{1}{{a}_{n}}\left( {{a}_{n + 1} + {a}_{n}}\right) = 2 + \frac{1}{{a}_{n}^{2}} \rightarrow 2\;\left( {n \rightarrow \infty }\right) , $$
对序列 $\left\{ {b}_{n}\right\}$ 用