📝 题目
例 26 设 $f\left( x\right)$ 在点 $x = {x}_{0}$ 处连续,并且 $f\left( {x}_{0}\right) > 0$ . 求证: $\exists \delta >$ 0,当 $\left| {x - {x}_{0}}\right| < \delta$ 时, $f\left( x\right) > 0$ .
💡 答案与解析
证 取 $\varepsilon = f\left( {x}_{0}\right) > 0$ ,因为 $f\left( x\right)$ 在点 ${x}_{0}$ 处连续,所以 $\exists \delta > 0$ , 当 $\left| {x - {x}_{0}}\right| < \delta$ 时,有
$$ \left| {f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }\right| < f\left( {x}_{0}\right) \Rightarrow f\left( x\right) > f\left( {x}_{0}\right) - f\left( {x}_{0}\right) = 0. $$
提问 下面证明是否正确: $\forall \varepsilon > 0$ ,不妨设 $\varepsilon < f\left( {x}_{0}\right)$ ,因为 $f\left( x\right)$ 在点 ${x}_{0}$ 处连续,所以 $\exists \delta > 0$ ,当 $\left| {x - {x}_{0}}\right| < \delta$ 时,有
$$ \left| {f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }\right| < \varepsilon ,\;\text{ 即 }\;f\left( x\right) > f\left( {x}_{0}\right) - \varepsilon > 0. $$
解答 这一证明中, $\forall \varepsilon > 0$ ,表示 $\varepsilon$ 是不确定的正数,从而 $\delta$ 也随之为不确定的正数, 这与题目要求不符, 一般证明极限存在性时, 要用 $\forall \varepsilon$ ; 而已知极限存在性,要证明极限的性质时要用取定的 $\varepsilon$ .