📝 题目
例 3 设 $f\left( x\right)$ 是 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上的非负连续函数,且 $f\left( 0\right) = f\left( 1\right) = 0$ . 求证: 对任意的实数 $r\left( {0 < r < 1}\right)$ ,必存在 ${x}_{0} \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ ,使得 ${x}_{0} + r \in$ $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ ,且
$$ f\left( {x}_{0}\right) = f\left( {{x}_{0} + r}\right) . \tag{5.2} $$
分析 作辅助函数 $F\left( x\right) = f\left( x\right) - f\left( {x + r}\right)$ . 要找满足 (5.2) 的 ${x}_{0}$ ,就是找函数 $F\left( x\right)$ 的零点.
💡 答案与解析
证 由于
$$ F\left( 0\right) = - f\left( r\right) ,F\left( {1 - r}\right) = f\left( {1 - r}\right) $$
$$ \Rightarrow F\left( 0\right) \cdot F\left( {1 - r}\right) = - f\left( r\right) f\left( {1 - r}\right) \leq 0. \tag{5.3} $$
(1) 如果 (5.3) 式中的 “ $=$ ” 号成立,那么 ${x}_{0} = 0$ 或 ${x}_{0} = 1 - r$ 满足 (5.2).
(2)如果(5.3)式中的“ $<$ ”号成立,即 $F\left( 0\right)$ 与 $F\left( {1 - r}\right)$ 异号,又 $F\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {0,1 - r}\right\rbrack$ 连续,从而根据连续函数的零值定理存在 ${x}_{0} \in$ (0,1 - r),使得 $F\left( {x}_{0}\right) = f\left( {x}_{0}\right) - f\left( {{x}_{0} + r}\right) = 0$ ,即 (5.2) 成立.