📝 题目
例 4 若 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 内连续,且 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( x\right)$ 存在. 求证: $f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 内有界.
💡 答案与解析
证 设 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( x\right) = A$ ,则对 $\varepsilon = 1$ ,存在 $X > 0$ ,使得当 $x > X$ 时, $\left| {f\left( x\right) - A}\right| < 1$ ,即有 $A - 1 < f\left( x\right) < A + 1\left( {\forall x\text{ ,只要 }\left| x\right| > X}\right)$ . 又因为 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {-X,X}\right\rbrack$ 上连续,所以存在 ${M}_{1} > 0$ ,使得
$$ \left| {f\left( x\right) }\right| \leq {M}_{1}\;\left( {\forall x \in \left\lbrack {-X,X}\right\rbrack }\right) . $$
取 $\displaystyle{M = \max \left\{ {\left| {A - 1}\right| ,\left| {A + 1}\right| ,{M}_{1}}\right\}}$ ,则有
$$ \left| {f\left( x\right) }\right| \leq M,\;\forall x \in \left( {-\infty , + \infty }\right) , $$
即 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 内有界.